1.-Introducción.
No cabe duda de que las matemáticas son la herramienta
imprescindible para el estudio de cualquier sistema físico. A la hora
de abordar cualquier análisis o diseño del mismo, será previamente necesario
elaborar un modelo matemático que se ajuste lo más fielmente al sistema
real a estudiar, utilizando para ello las leyes físicas aplicables de que
dispongamos o, en su defecto, resultados experimentales debidamente tratados.
Generalmente, lo que obtendremos será un conjunto de ecuaciones
diferenciales (no necesariamente lineales ni invariantes en el tiempo). Que podremos
tratar mediante alguno de los métodos ya conocidos:
a)Usando las Funciones de Transferencia (solamente si
el sistema es lineal e invariante con el tiempo).
b)Utilizando las Ecuaciones de Estado (que también
pueden aplicarse a los sistemas no lineales).
El procedimiento habitual será establecer primeramente
las variables que intervienen en el proceso para, posteriormente,
interrelacionarlas entre sí, mediante las leyes físicas que regulan esas
situaciones.
En este capítulo, vamos a realizar una pequeña
introducción al procedimiento indicado, sin profundizar
exhaustivamente en el mismo (este proceso debe ser realizado en detalle por el ingeniero
de control, que no es al que va enfocado este texto). Sirva pues, solamente
para tomar algunos conceptos intuitivos al respecto, sin mayores
expectativas.
Por la misma razón que la apuntada en el párrafo
anterior, tampoco vamos a tratar con sistemas no lineales, aunque
apuntaremos la forma de “linealizar” un sistema (siempre y cuando esto sea
posible) cuando el caso lo requiera.
Por último vamos a comentar algo que, aunque tampoco
vamos a tratar con detalle, sí que es interesante, por los
inconvenientes que puede ocasionar en algunos sistemas reales, como son los “retardos”.
2.-Sistemas eléctricos. Ecuaciones.
Dado el enfoque al que va destinado este texto, se
suponen de sobra
conocidos por el lector todo el tratamiento de
cualquier tipo de circuito eléctrico,
tanto en el dominio temporal (mediante ecuaciones
diferenciales), como en el
de Laplace (usando la Transformada de Laplace). En
cualquier caso, las
herramientas utilizadas (y sobre las que se basa
cualquier otro posible método
concreto) serán siempre la Ley de Ohm generalizada
(entiéndase por esto, la
ley matemática que relaciona las variables tensión /
corriente, por un elemento)
y los dos lemas de Kirchhoff, a lo que podemos añadir
(si el circuito es lineal)
el Principio de Superposición (se remite al lector a
cualquiera de los textos
recomendados en la asignatura de Circuitos II).
Así, cualquier sistema eléctrico podrá venir dado como
un conjunto de
ecuaciones diferenciales, que podrán transformarse sin
problemas en un
sistema de ecuaciones de estado o bien (si el sistema
es lineal), en una (o
varias) función de transferencia que determina
unívocamente al sistema.
3.-Sistemas mecánicos.
La gran mayoría de los sistemas de control incorporan
tanto sistemas
eléctricos como mecánicos (además, en menor cuantía,
también pueden incluir
sistemas neumáticos e hidráulicos). Sabemos que existe
una analogía total
entre estos dos tipos de sistemas, de forma que de un circuito
eléctrico siempre
podemos obtener uno análogo mecánico y viceversa (es
obvio que la analogía
se entiende en cuanto a la forma de las ecuaciones
obtenidas, naturalmente,
las variables eléctricas y mecánicas son
sustancialmente distintas).
En este apartado tendremos que distinguir entre
movimientos de
rotación y de traslación, así como posibles
combinaciones.
Ahora las leyes que regulan estos sistemas son,
obviamente, las de
Newton.
4.-LINEALIZACIÓN DE SISTEMAS.
Cuando se estudian sistemas lineales, los
procedimientos analíticos más
eficaces suelen ser las transformadas de Laplace y de
Fourier.
Desgraciadamente, ningún sistema físico es
perfectamente lineal. Sin embargo,
bajo ciertas suposiciones, casi siempre puede
obtenerse un modelo lineal, que
es un compromiso entre la simplicidad del modelo
matemático y la precisión de
los resultados que se obtienen con él. Algunas veces
no es posible conseguir
un modelo lineal que sea válido, por ejemplo, en
presencia de una fuerte no
linealidad o en presencia de efectos distributivos que
no pueden representarse
por parámetros concentrados.
El procedimiento que se adopta comúnmente para
resolver un problema
nuevo es: primero construir un modelo simplificado,
que sea tan lineal como
sea posible, para obtener una idea aproximada de la
respuesta dinámica del
sistema. En una segunda fase se completará el modelo
para hacer un análisis
más preciso y que se aproxime mejor al comportamiento
lineal.
Un sistema o ecuación no lineal se puede linealizar
suponiendo que las
perturbaciones (cambios) de las variable dependientes,
respecto a sus valores
en una condición de equilibrio permanente o
estacionaria arbitraria, son lo
suficientemente pequeños para que los productos y
potencias de las variables
perturbadas y sus derivadas puedan despreciarse.
5.-RETARDOS
Hasta ahora, todos los sistemas considerados tienen
funciones de
transferencia que son el cociente de dos polinomios.
En la práctica, se pueden
encontrar retrasos puros en varios tipos de sistemas,
especialmente en
sistemas con transmisiones hidráulicas, neumáticas o
mecánicas. Los sistemas
de control por computadora también tienen retardos, ya
que la computadora se
toma cierto tiempo en ejecutar operaciones numéricas.
En estos sistemas, la
salida no comienza a responder a la entrada sino hasta
después de un
intervalo dado. Un ejemplo de este tipo de sistemas
podría ser un sistema
donde se mezclan dos fluidos diferentes en
proporciones adecuadas. Para
asegurar que se mida una solución homogénea, se sitúa
un punto de
supervisión a una cierta distancia del punto de la
mezcla, por tanto, existe un
retraso entre el punto de mezcla y el lugar donde se
detecta el cambio en la
concentración.
